Binomial Random Variable

Bernoulli Random Variable를 여러 번 시행했을 때, 몇 번이 성공하는 지에 대한 랜덤변수.

$n$ 번의 독립적인 Bernoulli 시도에 대해 $k$ 번 성공(혹은 원하는 이산적인 값)에 대한 Random Variable $X$ . 이의 PMF는 다음과 같다.

P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

이 때, $X$ 는 $Binomial (n, p)$ 를 따른다고 말할 수 있다.

PMF의 계산법?:

이항계수 $(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ 는 총 $n$ 번의 시도가 일어나야 하고, 성공의 순서는 중요하지 않으므로 조합을 곱해주면 그 확률 분포가 된다..
각 시도는 모두 독립적이므로, Probability의 Multiplication Rule에 의해 그 확률은 $p^{k} (1 - p)^{n - k}$ 와 같다.
위 경우는, 어떤 순서로든 $k$ 번의 성공과 $n - k$ 번의 실패의 확률을 의미하므로, 그러한 $k$ 번의 성공의 개수 $(k n)$ 를 곱한다.

k = 0 \sum n P (X = k) = k = 0 \sum n (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k} = (p + (1 - p))^{n} = 1^{n} = 1

과 같아지므로, 이는 PMF의 필요조건을 만족한다.

Sum of Bernoulli Random Variable

Binomial Distribution

X

에 대해 이를 각각의 Bernoulli Random Variable의 합으로 볼 수 있다.

X = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

⇒ 여기서 $X_{i}$ 는 각각 Bernoulli Random Variable.

이는 문제를 더 쉽게 풀이할 수 있는 새로운 시각으로써 볼 수도 있다. 동시에, 다른 두 Binomial Random Variable을 더하면 새로운 Binomial Random Variable이 만들어 짐을 의미한다.

X \sim Bin (n, p), Y \sim Bin (m, p), X + Y \sim Bin (n + m, p)

이는 다음에서 비롯된다.

X + Y = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n} + Y_{1} + Y_{2} + \dots + Y_{m}